Question

若f（x）=（x-a）（x-b）+（x-b）（x-c）+（x-c）（x-a），其中a≤b≤c，对于下列结论：①f（b）≤0； ②若b=

a+c

2

，则?x∈R，f（x）≥f（b）；③若b≤

a+c

2

，则f（a）≤f（c）；④f（a）=f（c）成立充要条件为b=0．其中正确的是

 

．（请填写序号）

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：探究型

分析：①求出f（b），然后条件条件进行判断即可．
②利用作差法证明不等式即可．
③利用作差法证明不等式即可．
④解方程f（a）=f（c）得到方程成立的条件即可进行判断．

解答： 解：①∵f（x）=（x-a）（x-b）+（x-b）（x-c）+（x-c）（x-a），
∴f（b）=（b-c）（b-a），
∵a≤b≤c，
∴b-c≤0，b-a≥0，
∴f（b）=（b-c）（b-a）≤0，∴①正确．
②∵f（x）=（x-a）（x-b）+（x-b）（x-c）+（x-c）（x-a）=3x²-2（a+b+c）x+（ab+bc+ac），
f（b）=（b-c）（b-a）=b²-bc-ab+ac，
∴f（x）-f（b）=3x²-2（a+b+c）x+（ab+bc+ac）-（b²-bc-ab+ac）
=3x²-2（a+b+c）x+（2ab+2bc-b²），
∵b=

a+c

2

，∴a+c=2b，
∴f（x）-f（b）=3x²-2（a+b+c）x+（2ab+2bc-b²）=3x²-6bx+3b²=2（x-b）²≥0，
∴?x∈R，f（x）≥f（b）成立，∴②正确．
③∵f（a）=（a-b）（a-c），f（c）=（c-a）（c-b），
∴f（a）-f（c）=（a-b）（a-c）-（c-a）（c-b）=（a-c）（a-b+c-b）=（a-c）（a+c-2b），
若b≤

a+c

2

，则a+c≥2b，
∵a≤b≤c，
∴a-c≤0，a+c-2b≥0，
∴f（a）-f（c）=（a-c）（a+c-2b）≤0，∴③正确．
④f（a）=（a-b）（a-c），f（c）=（c-a）（c-b），
若f（a）=f（c），
即（a-b）（a-c）=（c-a）（c-b），
∴（a-c）（a+c-2b）=0，
即a=c或a+c=2b，∴④错误．
故正确的是①②③，
故答案为：①②③

点评：本题主要考查命题的真假判断，根据函数f（x）的表达式，利用作差法以及二次函数的性质是解决本题的关键，综合性较强，难度较大．