Question

已知函数f（x）=-x²-mx+n（m，n∈R）的两个零点分别在区间（-1，2）和（2，3）内，则m+2n的取值范围为

 

．

Answer 1

考点：一元二次方程的根的分布与系数的关系

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：由两个零点分别在区间（-1，2）和（2，3）内，根据零点存在定理，我们易得：f（-1）＜0，f（2）＞0，f（3）＜0，由此我们易构造一个平面区域，利用线性规划知识即可求出答案．

解答： 解：∵函数f（x）=-x²-mx+n（m，n∈R）的两个零点分别在区间（-1，2）和（2，3）内，
∴f（-1）＜0，f（2）＞0，f（3）＜0，
∴

-1+m+n＜0 -4-2m+n＞0 -9-3m+n＜0

，
平面区域如图所示，三个交点坐标分别为（-1，2），（-2，3），（-5，-6），
∴m+2n在（-2，3）处取得最大值4，在（-5，-6）处取得最小值为-17，
∴m+2n的取值范围为（-17，4）．
故答案为：（-17，4）．

点评：本题考查的知识点是函数零点的求法及零点存在定理，其中连续函数在区间（a，b）满足f（a）•f（b）＜0，则函数在区间（a，b）有零点，是判断函数零点存在最常用的方法．