Question

已知a，b∈R，函数f（x）=tanx在x=-

π

4

处与直线y=ax+b+

π

2

相切，设g（x）=e^x+bx²+a，若在区间[1，2]上，不等式m≤g（x）≤m²-2恒成立，则实数m（　　）

• A、有最小值-e
• B、有最小值e
• C、有最大值e
• D、有最大值e+1

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：计算题,导数的概念及应用

分析：求出f（x）的导数，求出切线的斜率，得a=2，将切点（-

π

4

，-1）代入切线方程，求得b=-1，再求g（x）的导数，判断g（x）在[1，2]上的单调性，求出最值，再由不等式m≤g（x）≤m²-2恒成立，即有

m≤g(1)=e+1 m2-2≥g(2)=e2-2 m≤m2-2

，解出m的取值范围，即可判断．

解答： 解：f（x）=tanx的导数f′（x）=（

sinx

cosx

）′=

sin2x+cos2x

cos2x

=

1

cos2x

，
则a=f′（-

π

4

）=

1

cos2(- π 4 )

=2，将切点（-

π

4

，-1）代入切线方程，即
-1=-

π

4

×2+b+

π

2

，即有b=-1．
则g（x）=e^x-x²+2，令h（x）=g′（x）=e^x-2x，
h′（x）=e^x-2，在[1，2]上h′（x）＞0恒成立，即h（x）在[1，2]上递增，
即g′（x）在[1，2]上递增，则有g′（x）≥g′（1）=e-2＞0，
则g（x）在[1，2]上递增，g（1）最小，g（2）最大，
不等式m≤g（x）≤m²-2恒成立，即有

m≤g(1)=e+1 m2-2≥g(2)=e2-2 m≤m2-2

，
解得m≤-e或e≤m≤e+1．即m的最大值为e+1．
故选D．

点评：本题考查导数的运用：求切线方程和判断单调性，考查函数的单调性及运用，考查不等式的恒成立问题转化为求函数的最值问题，属于中档题．