Question

已知圆C：（x+3）²+（y-4）²=4
（1）若直线l₁过点A（-1，0），且与圆C相切，求直线l₁的方程；
（2）若圆D的半径为1，圆心D在直线l₂：x+y-2=0上，且与圆C内切，求圆D的方程．

Answer 1

考点：直线与圆的位置关系

专题：直线与圆

分析：（1）当切线l₁的斜率不存在时，求出直线l₁的方程；当切线l₁的斜率存在时，设直线l₁的方程为y-0=k（x+1），根据圆心C（-3，4）到直线l₁的距离等于半径，求得斜率k的值，可得直线l₁的方程，综合可得结论．
（2）设点D（a，2-a），根据圆D和圆C相内切，可得|CD|=|2-1|，求得a的值，可得D的坐标，从而求得圆D的方程．

解答： 解：（1）由于直线l₁过点A（-1，0），且与圆C相切，当切线l₁的斜率不存在时，直线l₁的方程为x=-1；
当切线l₁的斜率存在时，设直线l₁的方程为y-0=k（x+1），即kx-y+k=0，根据圆心C（-3，4）到直线l₁的距离等于半径，
可得

|-3k-4+k|

k2+1

=2，求得k=-

3

4

，故直线l₁的方程为3x+4y+3=0．
综上可得，直线l₁的方程为x=-1或3x+4y+3=0．
（2）设点D（a，2-a），根据圆D和圆C相内切，可得|CD|=|2-1|，即

(a+3)2+(2-a-4)2

=1，求得a=-2，或 a=-3，
故点D（-2，4）或D（-3，5），∴圆D的方程为 （x+2）²+（y-4）²=1，或（x+3）²+（y-5）²=1．

点评：本题主要考查直线和圆相切的性质，圆和圆相内切的性质，点到直线的距离公式、两点间的距离公式的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．