Question

某公司以每吨10万元的价格销售某种化工产品，每年可售出1000吨，若将该产品每吨的价格上涨x%，则每年的销售量将减少mx%（m＞0）
（1）当m=

1

2

时，求销售额的最大值；
（2）若涨价能使销售额增加，求m的取值范围．

Answer 1

考点：函数最值的应用

专题：应用题,不等式的解法及应用

分析：（1）要求当m=

1

2

时，该产品每吨的价格上涨百分之几，可使销售的总金额最大，我们要根据已知条件先构造出函数的解析式，然后根据二次函数求最值的方法，求出销售的总金额的最大值．
（2）由（1）中的解析式，我们易得-mx²+100（1-m）x+10000＞10000，解不等式，即可求出m的取值范围．

解答： 解：（1）设产品每吨价格上涨x%时，销售总金额为y元．
则y=10（1+x%）•1000（1-mx%）
=-mx²+100（1-m）x+10000
当m=

1

2

时，y=-

1

2

（x-50）²+11250，
故当x=50时，y_max=11250（元）．
（2）y=-mx²+100（1-m）x+10000
y=-mx²+100（1-m）x+10000＞10000，
∴0＜x＜

100(1-m)

m

，
∴

100(1-m)

m

＞0，
∴0＜m＜1．

点评：函数的实际应用题，我们要经过析题→建模→解模→还原四个过程，在建模时要注意实际情况对自变量x取值范围的限制，解模时也要实际问题实际考虑．将实际的最大（小）化问题，利用函数模型，转化为求函数的最大（小）是最优化问题中，最常见的思路之一．