Question

已知函数f（x）=2sinxcosx-2cos²x（x∈R）．
（1）求函数f（x）的最大值及取得最大值时相应的x的值；
（2）求函数f（x）的零点的集合．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用

专题：三角函数的求值

分析：（1）化简f（x）=

2

sin（2x-

π

4

）-1，从而可求当x∈[0，

π

2

]时，-

π

4

≤2x-

π

4

≤

3π

4

，所以 当2x-

π

4

=

π

2

，f（x）_max=

2

-1；
（2）由f（x）=

2

sin（2x-

π

4

）-1=0即有sin（2x-

π

4

）=

2

2

从而可解得x=kπ+

π

4

，k∈Z

解答： 解：（1）因为f（x）=sin2x-cos2x-1=

2

sin（2x-

π

4

）-1．
当x∈[0，

π

2

]时，-

π

4

≤2x-

π

4

≤

3π

4

，
所以 当2x-

π

4

=

π

2

，f（x）_max=

2

-1，
（2）f（x）=

2

sin（2x-

π

4

）-1=0即有sin（2x-

π

4

）=

2

2

从而可解得x=kπ+

π

4

，k∈Z

点评：本题主要考察三角函数中的恒等变换应用，三角函数的极值的求法，属于基础题．