Question

4．已知函数f（x）=lnx+bx-c，f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x+y+4=0．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）的单调区间；
（3）若函数f（x）在定义域内恒有f（x）≥2lnx+kx成立，求k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，计算f（1），f′（1），结合切线方程求出b，c的值，从而求出函数f（x）的解析式即可；
（2）求出函数f（x）的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
（3）问题转化为$k≤-2-\frac{lnx+3}{x}$在定义域（0，+∞）内恒成立，设$g（x）=-2-\frac{lnx+3}{x}$，根据函数的单调性求出k的范围即可．

解答 解：（1）由题意，得$f'（x）=\frac{1}{x}+b$，
则f'（1）=1+b，∵在点（1，f（1））处的切线方程为x+y+4=0，
∴切线斜率为-1，则1+b=-1，得b=-2，
将（1，f（1））代入方程x+y+4=0，得1+f（1）+4=0，解得f（1）=-5，
∴f（1）=b-c=-5，将b=-2代入得c=3，
故f（x）=lnx-2x-3．
（2）依题意知函数的定义域是（0，+∞），且$f'（x）=\frac{1}{x}-2$，
令f'（x）＞0，得$0＜x＜\frac{1}{2}$，令f'（x）＜0，得$x＞\frac{1}{2}$，
故f（x）的单调增区间为$（0，\frac{1}{2}）$，单调减区间为$（\frac{1}{2}，+∞）$．
（3）由f（x）≥2lnx+kx，得lnx-2x-3≥2lnx+kx，
∴$k≤-2-\frac{lnx+3}{x}$在定义域（0，+∞）内恒成立．
设$g（x）=-2-\frac{lnx+3}{x}$，则$g'（x）=\frac{lnx+2}{x^2}$，
令g'（x）=0，得x=e^-2．
令g'（x）＞0，得x＞e^-2，令g'（x）＜0，得0＜x＜e^-2，
故g（x）在定义域内有极小值g（e^-2），此极小值又为最小值．
∴g（x）的最小值为$g（{e^{-2}}）=-2-\frac{{ln{e^{-2}}+3}}{{{e^{-2}}}}=-2-{e^2}$，
所以k≤-2-e²，即k的取值范围为（-∞，-2-e²]．

点评 本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道综合题．