Question

10．己知从点P出发的三条射线PA，PB，PC两两成60°角，且与球O相切于A，B，C点，若球O的体积为36π，则O，P的距离为3$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 连接OP交平面ABC于O′，由题意可得：O′A=$\frac{\sqrt{3}}{3}$AB=$\frac{\sqrt{3}}{3}$AP．由AO′⊥PO，OA⊥PA可得$\frac{OP}{OA}=\frac{AP}{AO′}$，根据球的体积可得半径OA=3，进而求出答案．

解答 解：连接OP交平面ABC于O′，
由题意可得：△ABC和△PAB为正三角形，
∴O′A=$\frac{\sqrt{3}}{3}$AB=$\frac{\sqrt{3}}{3}$AP．
∵AO′⊥PO，OA⊥PA，
∴$\frac{OP}{OA}=\frac{AP}{AO′}$，
∴OP=OA•$\frac{AP}{AO′}$=$\sqrt{3}$OA．
又∵球的体积为36π，
∴半径OA=3，则OP=3$\sqrt{3}$．
故答案为：3$\sqrt{3}$．

点评 本题考查空间中两点之间的距离，解决此类问题的方法是熟练掌握几何体的结构特征，考查计算能力，是中档题．