Question

2．已知f（x）=$\frac{1}{2x}$+$\frac{2}{1-x}$（$\frac{1}{4}$≤x≤$\frac{1}{2}$），则f（x）的最小值为（　　）

• A． 2$\sqrt{2}$
• B． $\frac{14}{3}$
• C． $\frac{9}{2}$
• D． 5

Answer 1

分析 由$\frac{1}{4}$≤x≤$\frac{1}{2}$，可得1-x＞0，则f（x）=$\frac{1}{2x}$+$\frac{2}{1-x}$=[x+（1-x）]（$\frac{\frac{1}{2}}{x}$+$\frac{2}{1-x}$），展开后，运用基本不等式，即可得到所求最小值．

解答 解：由$\frac{1}{4}$≤x≤$\frac{1}{2}$，可得1-x＞0，
f（x）=$\frac{1}{2x}$+$\frac{2}{1-x}$
=[x+（1-x）]（$\frac{\frac{1}{2}}{x}$+$\frac{2}{1-x}$）
=$\frac{1}{2}$+2+$\frac{2x}{1-x}$+$\frac{\frac{1}{2}（1-x）}{x}$
≥$\frac{5}{2}$+2$\sqrt{\frac{2x}{1-x}•\frac{1-x}{2x}}$=$\frac{5}{2}$+2=$\frac{9}{2}$，
当且仅当2x=1-x，即为x=$\frac{1}{3}$，可得最小值为$\frac{9}{2}$．
故选：C．

点评 本题考查函数的最值的求法，注意运用乘1法和基本不等式，注意满足的条件：一正二定三等，考查运算能力，属于中档题和易错题．