Question

9．已知平面ABC外一点P，且PH⊥平面ABC于点H．给出下列四个命题：
①若PA⊥BC，PB⊥AC，则点H是△ABC的垂心；
②若PA，PB，PC两两互相垂直，则点H是△ABC的垂心；
③若∠ABC=90°，点H是AC的中点，则PA=PB=PC；
 ④若PA=PB=PC，则点H是△ABC的外心．
其中正确命题的个数为（　　）

• A． 4
• B． 3
• C． 2
• D． 1

Answer 1

分析 根据题意画出图形，然后对应选项一一判定即可．

解答 解：∵PH⊥平面ABC，H为垂足．
∴PH⊥AB，PH⊥AC，PH⊥BC，
①若PA⊥BC，则BC⊥平面PAH，
∴BC⊥AH，同理：AC⊥BH，
则点H是△ABC的垂心，正确；
②若PA，PB，PC两两互相垂直，容易推出AH⊥BC，同理BH⊥AC，可得H是△ABC的垂心，正确．
③若∠ABC=90°，H是AC的中点，容易推出△PHA≌△PHB≌△PHC，则PA=PB=PC；正确．
④若PA=PB=PC，易得AH=BH=CH，则H是△ABC的外心，正确．
故正确的命题为：①②③④，
故选：A

点评 本题考查棱锥的结构特征，考查学生发现问题解决问题的能力，三垂线定理的应用，是中档题．