Question

17．已知函数f（x）=x²-（k-2）x+k²+3k+5有两个零点．
（1）若函数的两个零点都大于-2，求k的取值范围；
（2）若函数的两个零点是α和β，求α²+β²的取值范围．

Answer 1

分析 （1）、根据题意，结合二次函数的性质分析可得$\left\{\begin{array}{l}{△=（k-2）^{2}-4（{k}^{2}+3k+5）＞0}\\{f（-2）=4+2（k-2）+（{k}^{2}+3k+5）＞0}\\{\frac{k-2}{2}＜-2}\end{array}\right.$，解可得k的范围，即可得答案；
（2）若函数的两个零点是α和β，即方程x²-（k-2）x+k²+3k+5=0的两根为α和β，首先方程有2根，则有△=（k-2）²-4（k²+3k+5）≥0，解可得k的范围，进而由根与系数的关系的关系可得$\left\{\begin{array}{l}{α+β=k-2}\\{α•β={k}^{2}+3k+5}\end{array}\right.$，分析有α²+β²=（α+β）-2αβ=-k²-10k-6，结合k的范围，分析可得（-k²-10k-6）的范围，即可得答案．

解答 解：（1）根据题意，函数f（x）=x²-（k-2）x+k²+3k+5有两个大于-2的零点，
则二次函数f（x）=x²-（k-2）x+k²+3k+5与x轴有2个交点，且交点都在（-2，0）的右侧，
则有$\left\{\begin{array}{l}{△=（k-2）^{2}-4（{k}^{2}+3k+5）＞0}\\{f（-2）=4+2（k-2）+（{k}^{2}+3k+5）＞0}\\{\frac{k-2}{2}＜-2}\end{array}\right.$，
解可得$\frac{-5+\sqrt{5}}{2}$＜k＜-$\frac{4}{3}$，
故k的取值范围是（$\frac{-5+\sqrt{5}}{2}$，-$\frac{4}{3}$）；
（2）若函数的两个零点是α和β，即方程x²-（k-2）x+k²+3k+5=0的两根为α和β，
则必有△=（k-2）²-4（k²+3k+5）≥0，
解可得-4≤k≤-$\frac{4}{3}$，
又由$\left\{\begin{array}{l}{α+β=k-2}\\{α•β={k}^{2}+3k+5}\end{array}\right.$，
α²+β²=（α+β）²-2αβ=-k²-10k-6，
又由-4≤k≤-$\frac{4}{3}$，
令t=-k²-10k-6，则t=-（k+5）²+19，
又由-4≤k≤-$\frac{4}{3}$，
则$\frac{50}{9}$≤t≤18；
则α²+β²的取值范围是[$\frac{50}{9}$，18]

点评 本题考查二次函数的性质，涉及函数零点的定义与判定，关键是正确掌握理解函数与方程的关系．