Question

17．已知曲线C₁的极坐标方程为ρcosθ-ρsinθ+2=0，曲线C₂的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=cosα\\ y=2sinα\end{array}\right.$（α为参数），将曲线C₂上的所有点的横坐标变为原来的3倍，纵坐标变为原来的$\frac{3}{2}$倍，得到曲线C₃．
（1）写出曲线C₁的参数方程和曲线C₃的普通方程；
（2）已知点P（0，2），曲线C₁与曲线C₃相交于A，B，求|PA|+|PB|．

Answer 1

分析 （1）由x=ρcosθ，y=ρsinθ化直线方程为普通方程，写出过P（0，2）的直线参数方程，由题意可得$\left\{\begin{array}{l}{x=3cosα}\\{y=3sinα}\end{array}\right.$，运用同角平方关系化为普通方程；
（2）将直线的参数方程代入曲线C₃的普通方程，可得t的方程，运用韦达定理和参数的几何意义，即可得到所求和．

解答 解：（1）曲线C₁的极坐标方程为ρcosθ-ρsinθ+2=0，
可得普通方程为x-y+2=0，
则C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=2+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数），
由曲线C₂的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=cosα\\ y=2sinα\end{array}\right.$（α为参数），
可得$\left\{\begin{array}{l}{x=3cosα}\\{y=3sinα}\end{array}\right.$，
即有C₃的普通方程为x²+y²=9．…（5分）
（2）C₁的标准参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=2+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数），
与C₃联立可得t²+2$\sqrt{2}$t-5=0，
令|PA|=|t₁|，|PB|=|t₂|，由韦达定理，
则有t₁+t₂=-2$\sqrt{2}$，t₁t₂=-5，
则|PA|+|PB|=|t₁|+|t₂|=|t₁-t₂|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$
=$\sqrt{8-4×（-5）}$=2$\sqrt{7}$…（10分）

点评 本题考查极坐标方程、参数方程和普通方程的互化，考查直线的参数方程的运用，考查运算能力，属于中档题．