Question

7．函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x-1）为偶函数，当x∈[0，1]时，$f（x）={x^{\frac{1}{2}}}$，若函数g（x）=f（x）-x-b恰有一个零点，则实数b的取值集合是（　　）

• A． $（2k-\frac{1}{4}，2k+\frac{1}{4}），k∈Z$
• B． $（2k+\frac{1}{2}，2k+\frac{5}{2}），k∈Z$
• C． $（4k-\frac{1}{4}，4k+\frac{1}{4}），k∈Z$
• D． $（4k+\frac{1}{4}，4k+\frac{15}{4}），k∈Z$

Answer 1

分析 根据条件判断函数的周期性和对称性，求出函数在一个周期内的解析式，利用转化法进行求解即可．

解答 解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x-1）为偶函数，
∴f（-x-1）=f（x-1）=-f（x+1），
即f（x）=-f（x+2），
则f（x+4）=-f（x+2）=f（x），即函数f（x）的周期是4，
∵f（x-1）为偶函数，∴f（x-1）关于x=0对称，
则f（x）关于x=-1对称，同时也关于x=1对称，
若x∈[-1，0]，则-x∈[0，1]，
此时f（-x）=$\sqrt{-x}$=-f（x），则f（x）=-$\sqrt{-x}$，x∈[-1，0]，
若x∈[-2，-1]，x+2∈[0，1]，
则f（x）=-f（x+2）=-$\sqrt{x+2}$，x∈[-2，-1]，
若x∈[1，2]，x-2∈[-1，0]，
则f（x）=-f（x-2）=$\sqrt{-（x-2）}$=$\sqrt{2-x}$，x∈[1，2]，
作出函数f（x）的图象如图：
由数g（x）=f（x）-x-b=0得f（x）=x+b，
由图象知当x∈[-1，0]时，由-$\sqrt{-x}$=x+b，平方得x²+（2b+1）x+b²=0，
由判别式△=（2b+1）²-4b²=0得4b+1=0，得b=-$\frac{1}{4}$，此时f（x）=x+b有两个交点，
当x∈[4，5]，x-4∈[0，1]，则f（x）=f（x-4）=$\sqrt{x-4}$，
由$\sqrt{x-4}$=x+b，平方得x²+（2b-1）x+4+b²=0，
由判别式△=（2b-1）²-16-4b²=0得4b=-15，得b=-$\frac{15}{4}$，此时f（x）=x+b有两个交点，
则要使此时f（x）=x+b有一个交点，则在[0，4]内，b满足-$\frac{15}{4}$＜b＜-$\frac{1}{4}$，
即实数b的取值集合是4n-$\frac{15}{4}$＜b＜4n-$\frac{1}{4}$，
即4（n-1）+$\frac{1}{4}$＜b＜4（n-1）+$\frac{15}{4}$，
令k=n-1，
则4k+$\frac{1}{4}$＜b＜4k+$\frac{15}{4}$，
故选：D

点评 本题主要考查函数零点的应用，根据函数的性质求出函数的周期性和对称性，利用数形结合是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．