Question

已知定义在（-1，1）上的奇函数f（x）．在x∈（-1，0）时，f（x）=2^x+2^-x．
（1）试求f（x）的表达式；
（2）用定义证明f（x）在（-1，0）上是减函数；
（3）若对于x∈（0，1）上的每一个值，不等式t•2^x•f（x）＜4^x-1恒成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

考点：指数函数综合题,奇偶性与单调性的综合

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（1）由f（x）是定义在（-1，1）上的奇函数可得f（0）=0，x∈（0，1）时，f（x）=-f（-x）=-（2^x+2^-x）；从而写出f（x）的表达式；
（2）取值，作差，化简，判号，下结论五步；
（3）对于x∈（0，1）上的每一个值，不等式t•2^x•f（x）＜4^x-1恒成立转化为对于x∈（0，1）上的每一个值，不等式t＞-

4x-1

4x+1

恒成立，从而可得．

解答： 解：（1）∵f（x）是定义在（-1，1）上的奇函数，
∴f（0）=0，
设∈（0，1），则-x∈（-1，0），则
f（x）=-f（-x）
=-（2^x+2^-x），
故f（x）=

2x+2-x，x∈(-1，0) 0，x=0 -(2x+2-x)，x∈(0，1)

；
（2）任取x₁，x₂∈（-1，0），且x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=2x1+2-x1-（2x2+2-x2）
=

(2x1-2x2)(2x12x2-1)

2x12x2

，
∵x₁＜x₂＜0，
∴2x1-2x2＜0，0＜2x12x2＜1，
故f（x₁）-f（x₂）＞0，
故f（x）在（-1，0）上是减函数；
（3）由题意，t•2^x•f（x）＜4^x-1可化为
t•2^x•（-（2^x+2^-x））＜4^x-1，
化简可得，t＞-

4x-1

4x+1

，
令g（x）=-

4x-1

4x+1

=-1+

2

4x+1

，
∵x∈（0，1），
∴g（x）＜-1+

2

40+1

=0，
故对于x∈（0，1）上的每一个值，不等式t•2^x•f（x）＜4^x-1恒成立可化为
t≥0．

点评：本题考查了函数的性质的综合应用及恒成立问题的处理方法，属于难题．