Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，2AC=AA₁=BC=2，D为棱AA₁上的点．
（1）若D为AA₁的中点，求证：平面B₁CD⊥平面B₁C₁D；
（2）若直线B₁D与平面ACC₁A₁所成角为45°，求AD的长．

Answer 1

考点：点、线、面间的距离计算,平面与平面垂直的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）D为AA₁中点，推出平面B₁CD内的直线CD，垂直平面B₁C₁D内的两条相交直线DC₁，B₁C₁可得CD⊥平面B₁C₁D，即可得到平面B₁CD⊥平面B₁C₁D；
（2）证明B₁C₁⊥平面ACC₁A₁，可得∠B₁DC₁是直线B₁D与平面ACC₁A₁所成角，进而求出C₁D=2，A₁D=

3

，即可求AD的长．

解答： （1）证明：∵∠A₁C₁B₁=∠ACB=90°
∴B₁C₁⊥A₁C₁
又由直三棱柱性质知B₁C₁⊥CC₁，
∴B₁C₁⊥平面ACC₁A₁．
∴B₁C₁⊥CD．
由AA₁=BC=2AC=2，D为AA₁中点，可知DC=DC₁=

2

，
∴DC²+DC₁²=CC₁²=4即CD⊥DC₁，
又B₁C₁⊥CD，∴CD⊥平面B₁C₁D
又CD?平面B₁CD
故平面B₁CD⊥平面B₁C₁D；
（2）解：∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，
∴B₁C₁⊥平面ACC₁A₁，
∴∠B₁DC₁是直线B₁D与平面ACC₁A₁所成角，
∵直线B₁D与平面ACC₁A₁所成角为45°，BC=2，
∴C₁D=2，
∵A₁C₁=1，
∴A₁D=

3

，
∵AA₁=2，
∴AD=2-

3

．

点评：本题考查平面与平面垂直的判定，考查线面角，考查学生空间想象能力，逻辑思维能力、计算能力，是中档题．