Question

已知函数已知函数f（x）=2sin

π

6

xcos

π

6

x，过两点A（t，f（t）），B（t+1，f（t+1）） 的直线的斜率记为g（t）
（1）求g（t）的解析式及其单增区间．
（2）若g（t₀）=

4

5

，且t₀∈（-

1

2

，1），求g（t₀+1）的值．

Answer 1

考点：正弦函数的图象,二倍角的正弦

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）由条件利用三角函数的恒等变换求得f（x）=cos（

π

3

t+

π

6

），令2kπ-π≤

π

3

t+

π

6

≤2kπ，k∈z，求得x的范围，可得函数的增区间．
（2）由条件求得cos（

π

3

t₀+

π

6

）=

4

5

，sin（

π

3

t₀+

π

6

）=

3

5

，再根据g（t₀+1）=cos[（

π

3

t₀+

π

6

）+

π

3

]，利用两角和的余弦公式计算求得结果．

解答： 解：（1）函数f（x）=2sin

π

6

xcos

π

6

x=sin

π

3

x，
g（t）=f（t+1）-f（t）
=sin（

π

3

t+

π

3

）-sin

π

3

t
=

3

2

cos

π

3

t-

1

2

sin

π

3

t
=cos（

π

3

t+

π

6

）．
令2kπ-π≤

π

3

t+

π

6

≤2kπ，k∈z，求得6k-

7

2

≤x≤6k-

1

2

，
故函数的增区间为[6k-

7

2

，6k-

1

2

]，k∈z．

（2）g（t₀）=cos（

π

3

t₀+

π

6

）=

4

5

，且t₀∈（-

1

2

，1），
∴

π

3

t₀+

π

6

∈（0，

π

2

），
∴sin（

π

3

t₀+

π

6

）=

3

5

．
∴g（t₀+1）=cos[

π

3

（t₀+1）+

π

6

]
=cos[（

π

3

t₀+

π

6

）+

π

3

]
=

1

2

cos（

π

3

t₀+

π

6

）-

3

2

sin（

π

3

t₀+

π

6

）
=

1

2

×

4

5

-

3

2

×

3

5

=

4-3 3

10

．

点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，余弦函数的单调性，同角三角函数的基本关系，属于基础题．