Question

为选拔选手参加“中国汉字听写大会”，某中学举行了一次“汉字听写大赛”活动．为了了解本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100分）作为样本（样本容量为n）进行统计．按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在[50，60），[90，100]的数据）．
（1）求样本容量n和频率分布直方图中的x、y的值；
（理科）（2）在选取的样本中，从竞赛成绩在80分以上（含80分）的学生中随机抽取3名学生参加“中国汉字听写大会”，设随机变量X表示所抽取的3名学生中得分在[80，90，）内的学生人数，求随机变量X的分布列及数学期望．
（文科）（2）在选取的样本中，从竞赛成绩在80分以上（含80分）的学生中随机抽取2名学生参加“中国汉字听写大会”，求所抽取的2名学生中至少有一人得分在[90，100]内的概率．

Answer 1

考点：频率分布直方图,列举法计算基本事件数及事件发生的概率

专题：概率与统计

分析：（1）由频率公式和图求出样本容量n，由频率分布直方图中的数据求出x、y的值；
（2）理科：先求出分数在[80，90）、[90，100]内的学生人数，求出抽取的3名学生中得分在[80，90）的人数X的可能取值，由概率公式分别求出它们的概率并列出X的分布列，代入公式求出EX；
文科：先对7名学生分类进行编号，列出所有的基本事件，再列出2名同学的分数都不在[90，100]内的情况，
利用概率公式和对立事件的概率公式求出即可．

解答： 解：（1）由题意可知，样本容量n=

8

0.016×10

=50，y=

2

50×10

=0.004，
x=0.100-0.004-0.010-0.016-0.040=0.030．…（4分）
（理科）（2）由题意可知，分数在[80，90）内的学生有5人，分数在[90，100]内的学生有2人，共7人．
抽取的3名学生中得分在[80，90）的人数X的可能取值为1，2，3，则
P（X=1）=

C 1 5 C 2 2

C 3 7

=

5

35

=

1

7

，P（X=2）=

C 2 5 C 1 2

C 3 7

=

20

35

=

4

7

，P（X=3）=

C 3 5 C 0 2

C 3 7

=

10

35

=

2

7

．
所以X的分布列为

X	1	2	3
P	1 7	4 7	2 7

所以EX=1×

1

7

+2×

4

7

+3×

2

7

=

15

7

．…（12分）
（文科）（2）由题意可知，分数在[80，90）内的学生有5人，记这5人分别为1、2、3、4、5，
分数在[90，100]内的学生有2人，记这2人分别为a、b．
抽取的2名学生的所有情况有21种，分别为：
（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，a），（1，b），（2，3），
（2，4），（2，5），（2，a），（2，b），（3，4），（3，5），（3，a），
（3，b），（4，5），（4，a），（4，b），（5，a），（5，b），（a，b）．（8分）
其中2名同学的分数都不在[90，100]内的情况有10种，分别为：
（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，3），（2，4），（2，5），
（3，4），（3，5），（4，5）．
∴所抽取的2名学生中至少有一人得分在[90，100]内的概率P=1-

10

21

=

11

21

．…（12分）

点评：本题考查茎叶图、频率分布直方图，随机变量X的分布列及数学期望，以及古典概型，比较综合．