Question

8．已知O为△ABC的外心，且|$\overrightarrow{AB}$|=6，|$\overrightarrow{AC}$|=2，则$\overrightarrow{AO}$•$\overrightarrow{BC}$的值为-16．

Answer 1

分析 可取AB的中点D，AC的中点E，并连接OD，OE，从而作出图形，根据条件得到OD⊥AB，OE⊥AC，而$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$，带入$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{BC}$进行数量积的运算，结合图形从而求出该数量积的值．

解答 解：如图，取AB中点D，AC中点E，连接OD，OE，则：
OD⊥AB，OE⊥AC；
∴$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AO}•（\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}）$
=$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AB}$
=$|\overrightarrow{AO}|cos∠OAE•|\overrightarrow{AC}|$$-|\overrightarrow{AO}|cos∠OAD•|\overrightarrow{AB}|$
=$\frac{1}{2}|\overrightarrow{AC}{|}^{2}-\frac{1}{2}|\overrightarrow{AB}{|}^{2}$
=2-18
=-16．
故答案为：-16．

点评 考查三角形外心的定义，向量减法的几何意义，以及向量数量积的计算公式，三角函数的定义．