Question

13．对于一个向量组$\overrightarrow{a_1}$，$\overrightarrow{a_2}$，$\overrightarrow{a_3$，…，$\overrightarrow{a_n}$（n≥3，n∈N^*），令$\overrightarrow{S_n}$=$\overrightarrow{a_1}$+$\overrightarrow{a_2}$+$\overrightarrow{a_3}$+…+$\overrightarrow{a_n}$，如果存在$\overrightarrow{a_p}$（p∈N^*），使得|$\overrightarrow{a_p}$|≥|$\overrightarrow{S_n}$-$\overrightarrow{a_p}$|，那么称$\overrightarrow{a_p}$是该向量组的“长向量”
（1）若$\overrightarrow{a_3}$是向量组$\overrightarrow{a_1}$，$\overrightarrow{a_2}$，$\overrightarrow{a_3}$的“长向量”，且$\overrightarrow{a_n}$=（n，x+n），求实数x的取值范围；
（2）已知$\overrightarrow{a_1}$，$\overrightarrow{a_2}$，$\overrightarrow{a_3}$均是向量组$\overrightarrow{a_1}$，$\overrightarrow{a_2}$，$\overrightarrow{a_3}$的“长向量”，试探究$\overrightarrow{a_1}$，$\overrightarrow{a_2}$，$\overrightarrow{a_3}$的等量关系并加以证明．

Answer 1

分析 （1）根据长向量的定义即可得出$|\overrightarrow{{a}_{3}}|≥|\overrightarrow{{a}_{1}}+\overrightarrow{{a}_{2}}|$，根据条件即可求出向量$\overrightarrow{{a}_{3}}，\overrightarrow{{a}_{1}}+\overrightarrow{{a}_{2}}$的坐标，从而建立关于x的不等式，解不等式便可得出x的取值范围；
（2）容易得出${\overrightarrow{a_1}^2}≥{\overrightarrow{a_2}^2}+{\overrightarrow{a_3}^2}+2\overrightarrow{a_2}•\overrightarrow{a_3}$，${\overrightarrow{a_2}^2}≥{\overrightarrow{a_1}^2}+{\overrightarrow{a_3}^2}+2\overrightarrow{a_1}•\overrightarrow{a_3}$，${\overrightarrow{a_3}^2}≥{\overrightarrow{a_1}^2}+{\overrightarrow{a_2}^2}+2\overrightarrow{a_1}•\overrightarrow{a_2}$，这三个式子相加并进行化简便可得出$（\overrightarrow{{a}_{1}}+\overrightarrow{{a}_{2}}+\overrightarrow{{a}_{3}}）^{2}≤0$，从而得出$\overrightarrow{{a}_{1}}+\overrightarrow{{a}_{2}}+\overrightarrow{{a}_{3}}=\overrightarrow{0}$．

解答 解：（1）由题意，得：$|\overrightarrow{a_3}|≥|\overrightarrow{a_1}+\overrightarrow{a_2}|$，且$\overrightarrow{{a}_{1}}=（1，x+1），\overrightarrow{{a}_{2}}=（2，x+2），\overrightarrow{{a}_{3}}=（3，x+3）$；
∴$\overrightarrow{{a}_{1}}+\overrightarrow{{a}_{2}}=（3，2x+3）$；
∴$\sqrt{9+{{（x+3）}^2}}≥\sqrt{9+{{（2x+3）}^2}}$
解得：-2≤x≤0；
∴实数x的取值范围为[-2，0]；
（2）由题意，得：$|\overrightarrow{a_1}|≥|\overrightarrow{a_2}+\overrightarrow{a_3}|$，$|\overrightarrow{a_1}{|^2}≥|\overrightarrow{a_2}+\overrightarrow{a_3}{|^2}$，即${\overrightarrow{a_1}^2}≥{（\overrightarrow{a_2}+\overrightarrow{a_3}）^2}$；
即${\overrightarrow{a_1}^2}≥{\overrightarrow{a_2}^2}+{\overrightarrow{a_3}^2}+2\overrightarrow{a_2}•\overrightarrow{a_3}$，同理${\overrightarrow{a_2}^2}≥{\overrightarrow{a_1}^2}+{\overrightarrow{a_3}^2}+2\overrightarrow{a_1}•\overrightarrow{a_3}$，${\overrightarrow{a_3}^2}≥{\overrightarrow{a_1}^2}+{\overrightarrow{a_2}^2}+2\overrightarrow{a_1}•\overrightarrow{a_2}$；
三式相加并化简，得：$0≥{\overrightarrow{a_1}^2}+{\overrightarrow{a_2}^2}+{\overrightarrow{a_3}^2}+2\overrightarrow{a_1}•\overrightarrow{a_2}+2\overrightarrow{a_1}•\overrightarrow{a_3}+2\overrightarrow{a_2}•\overrightarrow{a_3}$；
即${（\overrightarrow{a_1}+\overrightarrow{a_2}+\overrightarrow{a_3}）^2}≤0$，$|\overrightarrow{a_1}+\overrightarrow{a_2}+\overrightarrow{a_3}|≤0$；
∴$\overrightarrow{a_1}+\overrightarrow{a_2}+\overrightarrow{a_3}=\overrightarrow 0$．

点评 考查对新定义“长向量”概念的理解，向量坐标的概念，向量坐标的加法运算，根据向量坐标可求向量长度，一元二次不等式的解法，完全平方公式，以及向量数量积的运算．