Question

20．在△ABC中，已知a=2$\sqrt{3}$；B=$\frac{π}{4}$；面积S=3+$\sqrt{3}$；求C和c．

Answer 1

分析 根据三角形的面积公式可求c的值，利用余弦定理可求b的值，再利用三角形面积公式可求sinA的值，结合大边对大角可求A，再由三角形内角和定理即可得解C的值．

解答 解：∵a=2$\sqrt{3}$，B=$\frac{π}{4}$，面积S=3+$\sqrt{3}$，
∴根据三角形的面积公式S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC，可得：3$+\sqrt{3}$=$\frac{1}{2}$×$2\sqrt{3}$×c×$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
解得：c=$\sqrt{6}$+$\sqrt{2}$，
∴由余弦定理可得，b²=a²+c²-2accosB=（2$\sqrt{3}$）²+（$\sqrt{6}$+$\sqrt{2}$）²-2×$2\sqrt{3}×$（$\sqrt{6}$+$\sqrt{2}$）×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=8，
解得：b=2$\sqrt{2}$，
∴根据三角形的面积公式S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA，可得：3$+\sqrt{3}$=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{2}$×（$\sqrt{6}$+$\sqrt{2}$）×sinA，
解得：sinA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵a＜c，A为锐角，可得A=$\frac{π}{3}$，
∴C=π-A-B=$\frac{5π}{12}$．

点评 本题主要考查了三角形的面积公式及余弦定理等公式在解题中的应用，属于基础题．