Question

某市为考核一学校质量，对该校甲、乙两班各50人进行测验，根据这两班的成绩绘制茎叶图如图1：
（1）求甲、乙两班成绩的中位数，并将甲乙两班数据合在一起，绘出这些数据的频率分布直方图；
（2）根据抽样测验，从成绩的个位数为2的同学中任选4人，设这4人中有ξ人来自甲班，求随机变量ξ的分布列和期望值；
（3）根据茎叶图2分析甲、乙两班成绩的特点．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,茎叶图,离散型随机变量及其分布列

专题：概率与统计

分析：（1）利用茎叶图能求出甲、乙两班成绩的中位数，并能绘出这些数据的频率分布直方图．
（2）教学成绩个位数为2的同学甲班有6人，乙班有4人，故ξ的可能取值为0，1，2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量ξ的分布列和期望值
（3）甲班成绩低于乙班成绩，但全班成绩较集中，乙班成绩高于甲班，但学生间差异较大．

解答： 解：（1）甲班50位学生成绩由小到大排序，
排在第25，26位的数为72和73，
故甲班成绩的中位数为：

72+73

2

=72.5，
乙班50位学生的成绩由小到大排序，
排在第25，26位的数是78和78，
故乙班学生的中位数为：

78+78

2

=78．
[50，60）上的频数为5，[60，70）上的频数为20，
[70，80）上的频数为45，[80，90）上的频数为25，
[90，100）上的频数为5，
由此作出这些数据的频率分布直方图，如右图所示．
（2）教学成绩个位数为2的同学甲班有6人，乙班有4人，
故ξ的可能取值为0，1，2，3，4，
P（ξ=0）=

C 4 4

C 4 10

=

1

210

，
P（ξ=1）=

C 1 6 C 3 4

C 4 10

=

4

35

，
P（ξ=2）=

C 2 6 C 2 4

C 4 100

=

3

7

，
P（ξ=3）=

C 3 6 C 1 4

C 4 10

=

8

21

，
P（ξ=4）=

C 4 6

C 4 10

=

1

14

，
∴ξ的分布列为：

ξ	0	1	2	3	4
P	1 210	4 35	3 7	8 21	1 14

Eξ=0×

1

210

+1×

4

35

+2×

3

7

+4×

1

14

=

12

5

．
（3）甲班中位数低于乙班中位数，且从茎叶图可大致看出，
甲班的标准差小于乙班，
说明甲班成绩低于乙班成绩，但全班成绩较集中，乙班成绩高于甲班，但学生间差异较大．

点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，在历年高考中都是必考题型之一