Question

已知抛物线C的顶点为坐标原点，其焦点为F（0，c），（0＜c＜2），点E（2

3

，y₀），A，B都是抛物线上的点，且|EF|=4，

AF

=4

FB

，过A，B两点分别作抛物线的切线，设其焦点为M．
（1）求抛物线C的解析式；
（2）求△ABM的面积．

Answer 1

考点：抛物线的标准方程

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）设抛物线方程为x²=2py，p＞0，由已知得

py0=6 2y0+p=8 0＜ p 2 ＜2

，由此能求出抛物线C的解析式．
（2）由已知设A（x1，

x12

4

），B（x2，

x22

4

），F（0，1），(-x1，1-

x12

4

)=4（x2，

x22

4

-1），解得

x1=4 x2=-1

，或

x1=-4 x2=1

，由x²=4y，得y′=

x

2

，从而直线PA：y=

x1x

2

-

x12

4

，PB：y=

x2x

2

-

x22

4

，取

x1=4 x2=-1

，得A（4，4），B（-1，

1

4

），M（

3

2

，-1），由此能求出△ABM的面积．

解答： 解：（1）∵抛物线C的顶点为坐标原点，其焦点为F（0，c），（0＜c＜2），
点E（2

3

，y₀），A，B都是抛物线上的点，且|EF|=4，
∴设抛物线方程为x²=2py，p＞0，
由已知得

py0=6 2y0+p=8 0＜ p 2 ＜2

，解得p=2，
∴抛物线C的解析式为x²=4y．
（2）由已知设A（x1，

x12

4

），B（x2，

x22

4

），F（0，1），
∵

AF

=4

FB

，∴(-x1，1-

x12

4

)=4（x2，

x22

4

-1），
即

x1=-4x2 1- x12 4 =x22-4

，解得

x1=4 x2=-1

，或

x1=-4 x2=1

，
由x²=4y，得y′=

x

2

，
∴直线PA：y-

x12

4

=

x1

2

（x-x₁），即y=

x1x

2

-

x12

4

，①
直线PB：y-

x22

4

=

x2

2

（x-x₂），即y=

x2x

2

-

x22

4

，②，
由①②得：

x= x1+x2 2 y= x1x2 4

，
取

x1=4 x2=-1

，得A（4，4），B（-1，

1

4

），M（

3

2

，-1），
∴

AB

=（-5，-

15

4

），

AM

=（-

5

2

，-5），
|

AB

|=

25

4

，|

AM

|=

5 5

2

，cos＜

AB

，

AM

＞=

25 2 + 75 4

25 4 × 5 5 2

=

2 5

5

，
∴sin＜

AB

，

AM

＞=

1-( 2 5 5 )2

=

5

5

，
∴S_△ABM=

1

2

×|

AB

|×|

AM

|×sin＜

AB

，

AM

＞=

1

2

×

25

4

×

5 5

2

×

5

5

=

125

16

．

点评：本题考查抛物线方程的求法，考查三角形面积的求法，解题时要认真审题，注意导数的几何意义的合理运用．