题目内容
已知△ABC是斜三角形，内角A、B、C所对的边的长分别为a、b、c．己知csinA=
ccosC．
（Ⅰ）求角C；
（Ⅱ）若c=
，且sinC+sin（B-A）=5sin2A，求△ABC的面积．
| 3 |
（Ⅰ）求角C；
（Ⅱ）若c=
| 21 |
考点：正弦定理,余弦定理
专题：计算题,三角函数的求值,解三角形
分析：（I）根据正弦定理算出csinA=asinC，与题中等式比较可得tanC=
，结合C为三角形内角，可得C的大小；
（II）余弦定理c2=a2+b2-2abcosC的式子，列式解出a=5，b=1，再利用三角形的面积公式加以计算，即可得到△ABC的面积．
| 3 |
（II）余弦定理c2=a2+b2-2abcosC的式子，列式解出a=5，b=1，再利用三角形的面积公式加以计算，即可得到△ABC的面积．
解答：
解：（I）根据正弦定理
=
，可得csinA=asinC，
∵csinA=
acosC，∴asinC=
acosC，
可得sinC=
cosC，得tanC=
=
，
∵C∈（0，π），∴C=
；
（II）∵sinC+sin(B-A)=5sin2A，C=
∴sinC=sin（A+B）∴sin（A+B）+sin（B-A）=5sin2A，
∴2sinBcosA=2×5sinAcosA，
∵A、B、C为斜三角形，∴cosA≠0，∴sinB=5sinA，
由正弦定理可知b=5a…（1）
由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC，
∴21=a2+b2-2ab×
…（2）
由（1）（2）解得a=5，b=1，
∴S△ABC=
absinC=
×1×5×
=
．
| a |
| sinA |
| c |
| sinC |
∵csinA=
| 3 |
| 3 |
可得sinC=
| 3 |
| sinC |
| cosC |
| 3 |
∵C∈（0，π），∴C=
| π |
| 3 |
（II）∵sinC+sin(B-A)=5sin2A，C=
| π |
| 3 |
∴sinC=sin（A+B）∴sin（A+B）+sin（B-A）=5sin2A，
∴2sinBcosA=2×5sinAcosA，
∵A、B、C为斜三角形，∴cosA≠0，∴sinB=5sinA，
由正弦定理可知b=5a…（1）
由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC，
∴21=a2+b2-2ab×
| 1 |
| 2 |
由（1）（2）解得a=5，b=1，
∴S△ABC=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| ||
| 2 |
5
| ||
| 4 |
点评：本题考查正弦定理、余弦定理和面积公式的运用，考查三角函数的化简和求值，考查运算能力，属于基础题．
练习册系列答案
课课通课程标准思维方法与能力训练系列答案
相关题目
一元二次不等式x2-2x＜0的解集为（ ）
| A、（0，2） |
| B、（-∞，0） |
| C、（-∞，0）∪（2，+∞） |
| D、（2，+∞） |
在△ABC中，若a2-b2＞c2，则△ABC的形状是（ ）
| A、锐角三角形 |
| B、直角三角形 |
| C、钝角三角形 |
| D、等腰直角三角形 |