Question

若曲线C₁：x²+y²-4x=0与曲线C₂：y（y-mx-x）=0有四个不同的交点，则实数m的取值范围是（　　）

• A、（-

  2 5

  5

  ，

  2 5

  5

  ）
• B、（-

  2 5

  5

  ，0）∪（0，

  2 5

  5

  ）
• C、[-

  3

  3

  ，

  3

  3

  ]
• D、（-∞，-

  3

  3

  ）∪（

  3

  3

  ，+∞）

Answer 1

考点：直线与圆的位置关系

专题：综合题,直线与圆

分析：曲线C₁表示以C₁：（4，0）为圆心、半径等于4的圆；①当m≠0时，曲线C₂表示x轴及过点（-1，0）且斜率为m的直线，要使两条曲线有四个不同交点，需y=m（x+1）和圆 （x-4）²+y²=16 相交，根据圆心到此直线的距离小于半径，求得m的范围．②当m=0时，检验不满足条件．综合可得m的范围．

解答： 解：曲线C₁：x²+y²-4x=0 即（x-2）²+y²=4，表示以C₁：（2，0）为圆心、半径等于2的圆．
对于曲线C₂：y（y-mx-m）=0，
①当m≠0时，曲线C₂即 y=0，或y=m（x+1），表示x轴及过点（-1，0）且斜率为m的直线，
要使两条曲线有四个不同交点，需y=m（x+1）和圆（x-2）²+y²=4相交，
故有

|3m|

m2+1

＜2，求得-

2 5

5

＜m＜

2 5

5

，且m≠0．
②当m=0时，曲线C₂：即y²=0，即y=0，表示一条直线，此时曲线C₂和曲线C₁ 只有一个交点，不满足条件．
综上可得，实数m的取值范围是（-

2 5

5

，0）∪（0，

2 5

5

），
故选：B．

点评：本题主要考查曲线的方程，直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，体现了转化的数学思想，属于中档题．