Question

已知AB是圆O的直径，P是上半圆上的任意一点，PC是∠APB的平分线，E是下半圆的中点．
求证：直线PC经过点E．

Answer 1

考点：圆周角定理

专题：立体几何

分析：连结AE，EB，OE，因为AB是圆O的直径，P是上半圆上的任意一点，PC是∠APB的平分线，E是下半圆的中点，得到∠AOE=∠BOE=90°，利用圆周角定理得到∠APE=

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∠AOE=45o．    利用，∠APB的平分线有且只有一条，只要证明PC与PE重合．

解答： 证明：连结AE，EB，OE，因为AB是圆O的直径，P是上半圆上的任意一点，PC是∠APB的平分线，E是下半圆的中点
则∠AOE=∠BOE=90°．     …（2分）
因为∠APE是圆周角，∠AOE同弧上的圆心角，
所以∠APE=

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∠AOE=45o．                         …（5分）
同理可得，∠BPE=45°，所以PE是∠APB的平分线．   …（8分）
又PC也是∠APB的平分线，∠APB的平分线有且只有一条，所以PC与PE重合．
所以直线PC经过点E．…（10分）

点评：本题考查了圆周角定理的运用；关键是熟练圆周角定理的内容，正确运用．