Question

7．在数列{a_n}中，a₁=1，且a_na_n+1+$\sqrt{3}$（a_n-a_n+1）+1=0，则a₂₀₁₆=（　　）

• A． 1
• B． -1
• C． 2+$\sqrt{3}$
• D． 2-$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 由题意可得a_n+1=$\frac{\sqrt{3}{a}_{n}+1}{\sqrt{3}-{a}_{n}}$，分别求出a₂，a₃，a₄，a₅，a₆，a₇，可知数列{a_n}是以6为周期的摆动数列，问题得以解决．

解答 解：∵a_na_n+1+$\sqrt{3}$（a_n-a_n+1）+1=0，
∴（$\sqrt{3}$-a_n）a_n+1=$\sqrt{3}$a_n+1，
∴a_n+1=$\frac{\sqrt{3}{a}_{n}+1}{\sqrt{3}-{a}_{n}}$，
∵a₁=1，
∴a₂=$\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}$=2+$\sqrt{3}$，
∴a₃=$\frac{\sqrt{3}（2+\sqrt{3}）+1}{\sqrt{3}-（2+\sqrt{3}）}$=-2-$\sqrt{3}$，
∴a₄=$\frac{\sqrt{3}（-2-\sqrt{3}）+1}{\sqrt{3}-（-2-\sqrt{3}）}$=-1，
∴a₅=$\frac{\sqrt{3}×（-1）+1}{\sqrt{3}-（-1）}$=-2+$\sqrt{3}$，
∴a₆=$\frac{\sqrt{3}（-2+\sqrt{3}）+1}{\sqrt{3}-（-2+\sqrt{3}）}$=2-$\sqrt{3}$，
∴a₇=$\frac{\sqrt{3}（2-\sqrt{3}）+1}{\sqrt{3}-（2-\sqrt{3}）}$=1，
∴数列{a_n}是以6为周期的摆动数列，
∴a₂₀₁₆=a_6×336=a₆=2-$\sqrt{3}$
故选：D．

点评 本题考查了数列的递推公式和规律探究，关键是求出数列{a_n}是以6为周期的摆动数列，属于中档题．