题目内容
17．过双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的焦点且垂直于实轴的直线交双曲线的渐近线于A，B两点，已知|AB|等于虚轴长的两倍，则该双曲线的离心率为（ ）| A． | $\frac{{\sqrt{5}}}{2}$ | B． | $\sqrt{3}$ | C． | $\sqrt{5}$ | D． | 2 |
分析 联立方程组求出A，B的坐标和|AB|的大小，建立方程组进行求解即可．
解答 解：不妨设直线过双曲线的右焦点F（c，0），
双曲线的渐近线为y=±$\frac{b}{a}$x
则当x=c时，y=±$\frac{b}{a}$•c=±$\frac{bc}{a}$
设A（c，$\frac{bc}{a}$），B（c，-$\frac{bc}{a}$），
则|AB|=$\frac{2bc}{a}$，
∵|AB|等于虚轴长的两倍，
∴$\frac{2bc}{a}$=2•（2b）=4b，
则c=2a，
则e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2a}{a}=2$，
故选：D
点评 本题主要考查双曲线离心率的计算，根据条件求出交点坐标，建立方程关系是解决本题的关键．
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