Question

过点A（4，-2）任作一条直线l与抛物线y²=2x交于不同的两点P，Q，问：抛物线y²=2x上是否存在点B，使∠PBQ总等于90°？

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系

专题：计算题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：假设抛物线y²=2x上存在点B，使∠PBQ总等于90°．设出直线方程联立抛物线方程，消去x，得到y的方程，设B（x₀，y₀），P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），运用韦达定理和直线的斜率公式，结合两直线垂直的条件，化简整理，得到2m（y₀-2）+y₀²-4=0，再由恒等式知识即可求得B的坐标．

解答： 解：假设抛物线y²=2x上存在点B，使∠PBQ总等于90°．
设直线l：x-4=m（y+2），
与抛物线y²=2x联立，消去x，得y²-2my-4（m+2）=0，
设B（x₀，y₀），P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
y₁+y₂=2m，y₁y₂=-4（2+m），①
k_PB=

y1-y0

x1-x0

=

y1-y0

y12-y02 2

=

2

y1+y0

，
k_QB=

y2-y0

x2-x0

=

y2-y0

y22-y02 2

=

2

y2+y0

，
由于∠PBQ=90°，则PB⊥QB，
即有k_PB•k_QB=-1，
得y₁y₂+y₀（y₁+y₂）+y₀²=-4，
将①代入得，2m（y₀-2）+y₀²-4=0，
当y₀=2时，上式恒成立 此时x₀=2，
所以抛物线y²=2x上存在点B（2，2），使∠PBQ总等于90°．

点评：本题考查抛物线的方程和运用，考查直线方程和抛物线方程联立，消去未知数，运用韦达定理和直线的斜率公式，考查两直线垂直的条件，考查恒成立问题注意运用恒等式的性质，属于中档题．