Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足4（n+1）（S_n+1）=（n+2）²a_n（n∈N⁺），求a_n．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：本题可以利用数列{a_n}的前n项和与通项的关系，将和式转化为项式，再构造新的数列{

an

(n+1)3

}成常数列，通过数列{

an

(n+1)3

}通项研究，得到原数列的通项．

解答： 解：∵4（n+1）（S_n+1）=（n+2）²a_n（n∈N⁺），
∴当n=1时，4（1+1）（S₁+1）=（1+2）²a₁，
∵S₁=a₁，∴a₁=8．
当n≥2，n∈N^*时，
S_n+1=

(n+2)2an

4(n+1)

…①，
S_n-1+1=

(n+1)2an-1

4n

…②，
由①-②得：a_n=

(n+2)2an

4(n+1)

-

(n+1)2an-1

4n

，
∴

an

(n+1)3

=

an-1

n3

，
∵

a1

(1+1)3

=1，
∴数列{

an

(n+1)3

}是首项为1的常数数列，
∴

an

(n+1)3

=1，
∴an=(n+1)3．

点评：本题考查了数列的前n项和公式与通项公式的关系、构造法求数列通项，还考查了分类讨论的数学思想，本题难度适中，属于中档题．