Question

20．已知直线l与圆C：x²+y²+2x-4y+a=0相交于A、B两点，弦AB的中点为M（0，1）．
（1）求实数a的取值范围以及直线l的方程；
（2）若圆C上存在动点N使CN=2MN成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用两直线垂直，求出k_AB=-1，从而求出直线方程；
（2）首先求出圆的标准式方程，依题意两圆有公共点，所以圆心间距小于两圆半径之和．

解答 解：（1）圆C：（x+1）²+（y-2）²=5-a，C（-1，2），r=$\sqrt{5-a}$（a＜5）
据题意：CM=$\sqrt{2}$＜$\sqrt{5-a}$⇒a＞3
因为CM⊥AB，⇒k_cmk_AB=-1，k_cm-1⇒k_AB=-1
所以直线l的方程为x-y+1=0；
（2）由CN=2MN，得$（x-\frac{1}{3}）^{2}+（y-\frac{2}{3}）^{2}=\frac{8}{9}$，
依题意，圆C与圆$（x-\frac{1}{3}）^{2}+（y-\frac{2}{3}）^{2}=\frac{8}{9}$有公共点，
故$|\frac{2}{3}\sqrt{2}-\sqrt{5-a}|≤\frac{4}{3}\sqrt{2}≤\frac{2}{3}\sqrt{2}+\sqrt{5-a}$
解得：-3$≤\\;a$ a≤$\frac{37}{9}$；
又因为由（1）知a＜3，所以-3≤a＜3．

点评 本题主要考查了圆的基础知识，直线方程以及圆与圆的位置关系，属中等题．