Question

19．如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D、E分别是AB、BB₁的中点．
（Ⅰ）证明：BC₁∥平面A₁CD；
（Ⅱ）设AA₁=AC=CB=2，AB=2$\sqrt{2}$，求异面直线BC₁与A₁D所成角的大小．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连接AC₁交A₁C于点F，连接DF，则BC₁∥DF．由此能证明BC₁∥平面A₁CD．
（Ⅱ）以C为坐标原点，$\overrightarrow{CA}$的方向为x轴正方向，$\overrightarrow{CB}$的方向为y轴正方向，$\overrightarrow{C{C}_{1}}$的方向为z轴正方向，建立空间直角坐标系C-xyz．利用向量法能求出异面直线BC₁与A₁D所成角．

解答 证明：（Ⅰ）连接AC₁交A₁C于点F，则F为AC₁的中点．
又D是AB的中点，连接DF，则BC₁∥DF．
因为DF?平面A₁CD，BC₁?平面A₁CD，
所以BC₁∥平面A₁CD．
解：（Ⅱ）∵AA₁=AC=CB=2，AB=2$\sqrt{2}$，∴AC⊥BC．
以C为坐标原点，$\overrightarrow{CA}$的方向为x轴正方向，$\overrightarrow{CB}$的方向为y轴正方向，$\overrightarrow{C{C}_{1}}$的方向为z轴正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz．
则D（1，1，0），C₁（0，0，2），A₁（2，0，2），B（0，2，0）
$\overrightarrow{B{C}_{1}}$=（0，-2，2），$\overrightarrow{{A}_{1}D}$=（-1，1，-2）．
设异面直线BC₁与A₁D所成角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{B{C}_{1}}•\overrightarrow{{A}_{1}D}|}{|\overrightarrow{B{C}_{1}}|•|\overrightarrow{{A}_{1}D}|}$=$\frac{|0-2-4|}{\sqrt{8}•\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴θ=30°，
∴异面直线BC₁与A₁D所成角为30°．

点评 本题考查线面平行的证明，考查异面直线所成角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．