Question

14．已知点M（-5，0），N（0，5），P为椭圆$\frac{{x}^{2}}{6}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1上一动点，则S_△MNP的最小值为5．

Answer 1

分析 求出与MN平行的直线的斜率，设出与MN平行的直线方程与椭圆联立，利用判别式为0，求出直线方程，求出平行线之间的距离，然后求解面积．

解答 解：点M（-5，0），N（0，5），斜率为：1，MN的方程为：x-y+5=0，
与MN平行的直线方程设为y=x+n，
直线与椭圆联立消去y可得：$\frac{{x}^{2}}{6}$+$\frac{{（x+n）}^{2}}{3}$=1，
可得3x²+4nx+2n²-6=0，
△=16n²-12（2n²-6）=0，解得n=3．
与MN平行的直线方程为：x-y+3=0，
平行线之间的距离为：$\frac{|5-3|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，
|MN|=5$\sqrt{2}$，
则S_△MNP的最小值为：$\frac{1}{2}×5\sqrt{2}×\sqrt{2}$=5．
故答案为：5．

点评 本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，椭圆的简单性质的应用，考查计算能力．