Question

已知函数f（x）=cos²x+sinxcosx，x∈R．
（1）求f（

3π

8

）的值；
（2）求函数f（x）=cos2x+4cosxsinx（x∈R）的值域．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用

专题：计算题,三角函数的求值

分析：（1）运用二倍角公式的正弦、余弦公式，然后代入求值即可；
（2）运用二倍角的正弦公式，再应用两角和的正弦公式，注意提取

5

，即化为一个角的一个三角函数，再应用正弦函数的值域即可．

解答： 解：（1）f（x）=cos²x+sinxcosx=

1+cos2x

2

+

1

2

sin2x
=1+

1

2

（cos2x+sin2x），
∴f（

3π

8

）=1+

1

2

（cos

3π

4

+sin

3π

4

）
=1+

1

2

（-

2

2

+

2

2

）=1；
（2）f（x）=cos2x+4cosxsinx=cos2x+2sin2x
=

5

（

5

5

cos2x+

2 5

5

sin2x）
=

5

sin（2x+θ），（tanθ=

1

2

，θ在第一象限），
∵x∈R，∴f（x）的值域为[-

5

，

5

]．

点评：本题考查三角恒等变换公式以及应用，考查二倍角公式的正弦和余弦，注意逆用公式，考查两角和的正弦公式，考查基本的三角函数求值运算能力，属于基础题．