Question

如图，A₁、A₂、F₁、F₂分别是双曲线C：

x2

9

-

y2

16

=1的左、右顶点和左、右焦点，M（x₀、y₀）是双曲线C上任意一点，直线MA₂与动直线l：x=

9

x0

相交于点N．
（1）求点N的轨迹E的方程；
（2）点B为曲线E上第一象限内的一点，连接F₁B交曲线E于另一点D，记四边形A₁ A₂BD对角线的交点为G，证明：点G在定直线上．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）直线MA₂方程为：y₀（x-3）-（x₀-3）y=0，代入双曲线方程，能求出点N的轨迹E的方程．
（2）设B(3cosθ，4sinθ)(0＜θ＜

π

2

)，则直线F₁B的方程为：y=

4sinθ

3cosθ+5

(x+5)，由此入手能证明点G在双曲线C的左准线x=-

9

5

上．

解答： （本小题满分13分）
（1）解：直线MA₂方程为：y₀（x-3）-（x₀-3）y=0
由方程组

x= 9 x0 y0(x-3)-(x0-3)y=0

…（2分）
代入双曲线方程化简得：
点N的轨迹E的方程为：

y2

16

+

x2

9

=1…（5分）
（2）证明：如图，设B(3cosθ，4sinθ)(0＜θ＜

π

2

)，
则直线F₁B的方程为：y=

4sinθ

3cosθ+5

(x+5)
代入E的方程化简得：
（17+15cosθ）x²+（45sin²θ）x-9cosθ（17cosθ+15）=0…（9分）
∴xD=-

9cosθ(17cosθ+15)

xB(17+15cosθ)

=-

3(17cosθ+15)

17+15cosθ

，
yD=

32sinθ

17+15cosθ

，
∴A₁B的方程为：4sinθ（x+3）-3（cosθ+1）y=0①
A₂D的方程为：sinθ（x-3）+3（cosθ+1）y=0②…（11分）
由①②消去y得：x=-

9

5

即点G在双曲线C的左准线x=-

9

5

上．…（13分）

点评：本题考查点的轨迹方程的求法，考查点的坐标在双曲线的左准线上的证明，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．