Question

证明：当x∈[0，1]时，

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x≤sinx≤x．

Answer 1

考点：三角函数线

专题：证明题,导数的概念及应用

分析：记F（x）=sinx-

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x，则F′（x）=cosx-

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，分x∈（0，

π

4

）与x∈（

π

4

，1）两类讨论，可证得当x∈[0，1]时，F（x）≥0，即sinx≥

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x；记H（x）=sinx-x，同理可证当x∈（0，1）时，sinx≤x，二者结合即可证得结论．

解答： 证明：记F（x）=sinx-

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x，则F′（x）=cosx-

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．
当x∈（0，

π

4

）时，F′（x）＞0，F（x）在[0，

π

4

]上是增函数；
当x∈（

π

4

，1）时，F′（x）＜0，F（x）在[

π

4

，1]上是减函数；
又F（0）=0，F（1）＞0，所以当x∈[0，1]时，F（x）≥0，即sinx≥

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x
记H（x）=sinx-x，则当x∈（0，1）时，H′（x）=cosx-1＜0，
所以H（x）在[0，1]上是减函数，则H（x）≤H（0）=0，
即sinx≤x．
综上，

2

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x≤sinx≤x．

点评：本题考查不等式的证明，突出考查利用导数研究函数的单调性，属于中档题．