Question

已知函数f(x)=

2x-1

x+1

，x∈[1，17]．
（1）证明函数f（x）在[1，17]上为增函数；
（2）求此函数的最大值和最小值．

Answer 1

考点：函数单调性的性质,函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用

分析：（1）利用函数单调性的定义证明即可；
（2）利用（1）的结论，即可求得最值．

解答： （1）证明：设任意的x₁，x₂∈[1，17]，且x₁＜x₂，则
f（x₁）-f（x₂）=

2x1-1

x1+1

-

2x2-1

x2+1

=

3(x1-x2)

(x1+1)(x2+1)

，
∵x₁，x₂∈[1，17]，且x₁＜x₂，
∴x₁-x₂＜0，（x₁+1）（x₂+1）＞0，
∴

3(x1-x2)

(x1+1)(x2+1)

＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
∴函数f（x）在[1，17]上为增函数．
（2）解：由（1）可知函数f（x）在[1，17]上为增函数；
∴当x=1时，f（x）有最小值为

1

2

；
当x=17时，f（x）有最大值为

11

6

．

点评：本题主要考查学生对函数的单调性的证明方法---定义法，以及利用函数的单调性求最值的方法，属基础题．