Question

16．已知向量$\overrightarrow{a}$=（sinx，$\frac{3}{4}$），$\overrightarrow{b}$=（cosx，-1）．
（1）当$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{b}$时，求cos2x的值；
（2）设函数f（x）=2（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）•$\overrightarrow{b}$，求当0≤x≤$\frac{π}{2}$时，函数f（x）的最大值及对应的x值．

Answer 1

分析 （1）利用向量平行，求得tanx=-$\frac{3}{4}$，二倍角公式cos2x=cos²x-sin²x═$\frac{1-2tanx}{ta{n}^{2}x+1}$，可求得，
（2）将f（x）化简得f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）+$\frac{3}{2}$，根据正弦函数的性质，求得f（x）的最大值及x的取值．

解答 解：（1）当$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{b}$时，-sinx=$\frac{3}{4}cosx$，
tanx=-$\frac{3}{4}$，
cos2x=cos²x-sin²x=$\frac{co{s}^{2}x-si{n}^{2}x}{si{n}^{2}x+co{s}^{2}x}$=$\frac{co{s}^{2}x-2sinxcosx}{si{n}^{2}x+co{s}^{2}x}$，
=$\frac{1-2tanx}{ta{n}^{2}x+1}$，
=$\frac{8}{5}$，
（2）设函数f（x）=2（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）•$\overrightarrow{b}$=2sinxcosx+2cos²+$\frac{1}{2}$，
=sin2x+cos2x+$\frac{3}{2}$，
=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）+$\frac{3}{2}$，
0≤x≤$\frac{π}{2}$时，$\frac{π}{4}$≤2x+$\frac{π}{4}$≤$\frac{5π}{4}$，
当x=$\frac{π}{8}$时，f（x）的最大值为$\sqrt{2}+\frac{3}{2}$．

点评 本题考查向量数量积的坐标表示和三角函数的性质，属于中档题．