Question

1．已知公差不为0的等差数列{a_n}中，a₁=2，且a₂+1，a₄+1，a₈+1成等比数列．
（1）求数列{a_n}通项公式；
（2）设数列{b_n}满足b_n=$\frac{3}{{a}_{n}}$，求适合方程b₁b₂+b₂b₃+…+b_nb_n+1=$\frac{45}{32}$的正整数n的值．

Answer 1

分析 （1）由a₂+1，a₄+1，a₈+1成等比数列，建立关于d的方程，解出d，即可求数列{a_n}的通项公式；
（2）表示出b_n，利用裂项相消法求出b₁b₂+b₂b₃+…+b_nb_n+1，建立关于n的方程，求解即可

解答 解：（1）设公差为为d，a₁=2，且a₂+1，a₄+1，a₈+1成等比数列，
∴（a₄+1）²=（a₂+1）（a₈+1），
∴（3d+3）²=（3+d）（3+7d），
解得d=3，
∴a_n=a₁+（n-1）d=2+3（n-1）=3n-1；
（2）∵数列{b_n}满足b_n=$\frac{3}{{a}_{n}}$，
∴b_n=$\frac{3}{3n-1}$，
∴b_nb_n+1=$\frac{3}{3n-1}$•$\frac{3}{3n+2}$=3（$\frac{1}{3n-1}$-$\frac{1}{3n+2}$）
∴b₁b₂+b₂b₃+…+b_nb_n+1=3（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{8}$+••+$\frac{1}{3n-1}$-$\frac{1}{3n+2}$）=3（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3n+2}$）=$\frac{45}{32}$，
即$\frac{1}{3n+2}$=$\frac{1}{32}$，
解得n=10，
故正整数n的值为10．

点评 本题考查等比数列和等差数列的概念与性质，以及裂项相消法求和，属于中档题