Question

5．如图，已知△ABC的边BC的垂直平分线交AC于点P，交BC于点Q，若|$\overrightarrow{AB}$|=3，|$\overrightarrow{AC}$|=5，则（$\overrightarrow{AP}$+$\overrightarrow{AQ}$）•（$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AC}$）的值为-16．

Answer 1

分析 根据向量加法的几何意义便可得到$\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{AQ}=2\overrightarrow{AQ}+\overrightarrow{QP}$，而由向量加法的平行四边形法则可得到$2\overrightarrow{AQ}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$，从而可得出$（\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{AQ}）•（\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}）$=$（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）•（\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}）+\overrightarrow{QP}•\overrightarrow{CB}$，而PQ⊥BC，从而有$\overrightarrow{QP}•\overrightarrow{CB}=0$，再由$|\overrightarrow{AB}|=3，|\overrightarrow{AC}|=5$便可求出$（\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{AQ}）•（\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}）$的值．

解答 解：$\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{AQ}+\overrightarrow{QP}$；
∴$\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{AQ}=2\overrightarrow{AQ}+\overrightarrow{QP}$；
∴$（\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{AQ}）•（\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}）$=$（2\overrightarrow{AQ}+\overrightarrow{QP}）•（\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}）$
=$2\overrightarrow{AQ}•（\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}）+\overrightarrow{QP}•（\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}）$
=$（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）•（\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}）+\overrightarrow{QP}•\overrightarrow{CB}$
=${\overrightarrow{AB}}^{2}-{\overrightarrow{AC}}^{2}+0$
=9-25
=-16．
故答案为：-16．

点评 考查向量加法的几何意义，向量加法的平行四边形法则，以及向量垂直的充要条件，向量数量积的运算．