题目内容
6．已知圆x2+y2=17在点（1，4）处的切线与幂函数f（x）的图象在点A（1，f（1））处的切线垂直，且不等式$\frac{f（x）}{x}$＞ax2+x在（1，2）上能成立，则实数a的取值范围为（ ）| A． | [0，+∞） | B． | （$\frac{35}{6}$，+∞） | C． | （-∞，0] | D． | （-∞，$\frac{3}{2}$） |
分析 设出幂函数f（x），求出导数，由f′（1）=4，求得f（x），则不等式$\frac{f（x）}{x}$＞ax2+x在（1，2）上能成立，即为a＜x-$\frac{1}{x}$在（1，2）上恒成立，求得右边函数的导数，判断单调性，求出值域，即可得到a的范围．
解答 解：设幂函数f（x）=xn，则f′（x）=nxn-1，
∵圆x2+y2=17在点（1，4）处的切线与幂函数f（x）的图象在点A（1，f（1））处的切线垂直，
∴幂函数f（x）的图象在点A（1，f（1））处的切线斜率为4，
则有n=4，
即有f（x）=x4，
∵不等式$\frac{f（x）}{x}$＞ax2+x在（1，2）上能成立，
∴不等式x3＞ax2+x在（1，2）上恒成立，
即为a＜x-$\frac{1}{x}$在（1，2）上恒成立，
由于在（1，2）上，x-$\frac{1}{x}$的导数1+$\frac{1}{{x}^{2}}$＞0，即有（1，2）为增区间，
即有0＜x-$\frac{1}{x}$＜$\frac{3}{2}$，
则有a≤0．
故选：C．
点评 本题考查导数的几何意义：曲线在该点处的切线的斜率，考查不等式恒成立思想转化为求最值或值域问题，考查函数的单调性和应用，属于中档题和易错题．
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