Question

16．下列命题中是真命题的为（　　）

• A． “存在x₀∈R，x₀²+sinx₀+e^x₀＜1”的否定是“不存在x₀∈R，x₀²+sinx₀+e^x₀＜1”
• B． 在△ABC中，“AB²+AC²＞BC²”是“△ABC为锐角三角形”的充分不必要条件
• C． 任意x∈N，3^x＞1
• D． 存在x₀∈（0，$\frac{π}{2}$），sinx₀+cosx₀=tanx₀

Answer 1

分析 直接写出命题的否定判断A；由充分必要条件的判定方法判断B；举例说明C错误；利用辅助角公式化积，结合三角函数的图象判断D．

解答 解：对于A，“存在x₀∈R，x₀²+sinx₀+e^x₀＜1”的否定是“存在x₀∈R，x₀²+sinx₀+e^x₀≥1”，故A为假命题；
对于B，∵AB²+AC²＞BC²?$\frac{A{B}^{2}+A{C}^{2}-B{C}^{2}}{2AB•AC}＞0$，即cosA＞0，
∵0＜A＜π，故A为锐角，但未必有△ABC为锐角三角形；反之，若△ABC为锐角三角形，则0＜A＜$\frac{π}{2}$，故cosA＞0，即AB²+AC²＞BC²，
∴“AB²+AC²＞BC²”是“△ABC为锐角三角形”的必要不充分条件，故B为假命题；
对于C，当x=0时，3⁰=1，故C为假命题；
对于D，∵sinx+cosx=$\sqrt{2}sin（x+\frac{π}{4}）$，故命题转化为存在x₀∈（0，$\frac{π}{2}$），$\sqrt{2}sin（{x}_{0}+\frac{π}{4}）=tan{x}_{0}$，
在同一直角坐标系内分别作出y=$\sqrt{2}sin（x+\frac{π}{4}）$与y=tanx在[0，$\frac{π}{2}$]上的图象如图：
可知y=$\sqrt{2}sin（x+\frac{π}{4}）$与y=tanx在[0，$\frac{π}{2}$]上必有交点，即存在x₀∈（0，$\frac{π}{2}$），$\sqrt{2}sin（{x}_{0}+\frac{π}{4}）=tan{x}_{0}$，
故D为真命题．
故选：D．

点评 本题考查命题的真假判断与应用，考查了充分必要条件的判定方法，考查三角函数的图象和性质，是中档题．