Question

11．已知数列{a_n}的前n项和S_n=n²+2n（n∈N*），数列{b_n}的前n项和T_n=2ⁿ-1（n∈N*）．
（Ⅰ）求数列$\{\frac{1}{{{a_n}•{a_{n+1}}}}\}$的前n项和；
（Ⅱ）求数列{a_n•b_n}的前n项和．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据数列{a_n}的前n项和S_n=n²+2n，求出数列的通项公式，利用裂项相消法，可得数列$\{\frac{1}{{{a_n}•{a_{n+1}}}}\}$的前n项和；
（Ⅱ）根据数列{b_n}的前n项和T_n=2ⁿ-1，求出数列的通项公式，利用错位相减法，可得数列{a_n•b_n}的前n项和．

解答 解：（I）∵数列{a_n}的前n项和S_n=n²+2n（n∈N*），
∴当n=1时，S₁=a₁=3，
当n≥2时，S_n-1=（n-1）²+2（n-1），
a_n=S_n-S_n-1=2n+1，
∵n=1时，2n+1=3，
故a_n=2n+1，
∴$\frac{1}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n+1}$-$\frac{1}{2n+3}$），
∴数列$\{\frac{1}{{{a_n}•{a_{n+1}}}}\}$的前n项和U_n=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{3}$$-\frac{1}{5}$+$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{7}$+$\frac{1}{2n+1}$-$\frac{1}{2n+3}$）=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{2n+3}$）=$\frac{n}{3（2n+3）}$，
（Ⅱ）∵数列{b_n}的前n项和T_n=2ⁿ-1（n∈N*）．
∴当n=1时，T₁=b₁=1，
当n≥2时，T _n-1=2^n-1-1，
b_n=T_n-T_n-1=2^n-1，
∵n=1时，2^n-1=1，
故b_n=2^n-1，
∴数列{a_n•b_n}的前n项和V_n=3•2⁰+5•2¹+7•2²+…+（2n+1）•2^n-1，
2V_n=3•2¹+5•2²+…+（2n-1）•2^n-1+（2n+1）•2ⁿ，
两式相减得：-V_n=3+2（2¹+2²+…+2^n-1）-（2n+1）•2ⁿ=（1-2n）2ⁿ+1
∴V_n=（2n-1）2ⁿ+1

点评 本题考查的知识点是数列求和，数列通项公式，是等差数列和等比数列的综合应用，难度中档．