Question

2．已知函数f（x）=$\frac{1}{{2}^{x}+1}$-$\frac{1}{2}$．
（1）判断f（x）的奇偶性；
（2）判断f（x）的单调性，并用定义证明；
（3）解不等式f（f（x））+f（$\frac{3}{8}$）＜0．

Answer 1

分析 （1）根据函数奇偶性的定义进行判断即可，
（2）根据函数单调性的定义，利用定义法进行证明，
（3）根据函数奇偶性和单调性之间的关系将不等式进行转化求解即可．

解答 解：（1）由2^x+1＞1得函数的定义域为R，
又f（-x）+f（x）=$\frac{1}{{2}^{-x}+1}$-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{x}+1}$-$\frac{1}{2}$=$\frac{{2}^{x}}{{2}^{x}+1}$+$\frac{1}{{2}^{x}+1}$-1=1-1=0．
则f（-x）=-f（x），
 故f（x）为奇函数．         
（2）f（x）为R上的减函数    证明如下：
任取x₁＜x₂，则f（x₁）-f（x₂）=$\frac{1}{{2}^{{x}_{1}}+1}$-$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{{2}^{{x}_{2}}+1}$+$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{{2}^{{x}_{1}}+1}$-$\frac{1}{{2}^{{x}_{2}}+1}$=$\frac{{2}^{{x}_{2}}-{2}^{{x}_{1}}}{（{2}^{{x}_{1}}+1）（{2}^{{x}_{1}}+1）}$，
∵x₁＜x₂，∴2${\;}^{{x}_{1}}$＜2${\;}^{{x}_{2}}$，
则f（x₁）-f（x₂）=$\frac{{2}^{{x}_{2}}-{2}^{{x}_{1}}}{（{2}^{{x}_{1}}+1）（{2}^{{x}_{1}}+1）}$＞0，
∴f（x₁）＞f（x₂），
故f（x）为R上的减函数．
（3）由（1）（2）知f（x）在R上是奇函数且单调递减，
由f（f（x））+f（$\frac{3}{8}$）＜0得f（f（x））＜-f（$\frac{3}{8}$）=f（-$\frac{3}{8}$），
则f（x）＞-$\frac{3}{8}$，
∴$\frac{1}{{2}^{x}+1}$-$\frac{1}{2}$＞-$\frac{3}{8}$，
即2^x＜7，得x＜log₂7，
故不等式的解集为（-∞，log₂7）．

点评 本题主要函数奇偶性和单调性判断，利用函数奇偶性和单调性的定义是解决本题的关键．考查学生的转化能力．