Question

8．如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=AA₁=1，AB=2，点E在棱AB上．
（1）求证：D₁E⊥A₁D；
（2）是否存在点E，使得${V_{B-CE{D_1}}}=\frac{1}{9}$？若存在，求出AE的长，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）连结AD₁，由题意可知AD₁⊥A₁D，再由AB⊥平面AA₁D₁D，得AB⊥A₁D，由线面垂直的判定可得A₁D⊥面AED₁，从而得D₁E⊥A₁D；
（2）假设存在这样的点E，且AE=x，则BE=2-x，由${V_{B-CE{D_1}}}={V_{{D_1}-BCE}}$，结合棱锥体积公式列式求得x值．

解答 （1）证明：连结AD₁．由AA₁D₁D是正方形知AD₁⊥A₁D．
∵AB⊥平面AA₁D₁D，∴AB⊥A₁D，且AB∩AD₁=A，
∴A₁D⊥面AED₁，又D₁E?面AED₁，∴D₁E⊥A₁D；
（2）解：假设存在这样的点E，且AE=x，则BE=2-x，${S_{△BCE}}=\frac{1}{2}BE•BC=\frac{1}{2}（2-x）$，
又${V_{B-CE{D_1}}}={V_{{D_1}-BCE}}$，
即${V_{{D_1}-BCE}}=\frac{1}{9}$，即$\frac{1}{3}{S_{△BCE}}•D{D_1}=\frac{1}{9}$，得$\frac{1}{2}（2-x）=\frac{1}{3}$，从而$x=\frac{4}{3}$．
即存在这样的点E，使得${V_{B-CE{D_1}}}=\frac{1}{9}$，此时$AE=\frac{4}{3}$．

点评 本题考查空间中直线与直线的位置关系，考查了线面垂直的判断，训练了等积法求多面体的体积，是中档题．