Question

已知F为抛物线y²=x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，

OA

•

OB

=2（其中O为坐标原点），则△ABO与△AFO面积之和的最小值是（　　）

• A、2
• B、3
• C、

  17 2

  8

• D、

  10

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：可先设直线方程和点的坐标，联立直线与抛物线的方程得到一个一元二次方程，再利用韦达定理及

OA

•

OB

=2消元，最后将面积之和表示出来，探求最值问题．

解答： 解：设直线AB的方程为：x=ty+m，点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线AB与x轴的交点为M（m，0），
由

x=ty+m y2=x

⇒y²-ty-m=0，根据韦达定理有y₁•y₂=-m，
∵

OA

•

OB

=2，∴x₁•x₂+y₁•y₂=2，
结合

y

2 1

=x1及

y

2 2

=x2，得(y1•y2)2+y1•y2-2=0，
∵点A，B位于x轴的两侧，∴y₁•y₂=-2，故m=2．
不妨令点A在x轴上方，则y₁＞0，又F(

1

4

，0)，
∴S_△ABO+S_△AFO=

1

2

×2×(y1-y2)+

1

2

×

1

4

×y1=

9

8

y1+

2

y1

≥2

9 8 y1• 2 y1

=3．
当且仅当

9

8

y1=

2

y1

，即y1=

4

3

时，取“=”号，
∴△ABO与△AFO面积之和的最小值是3，故选B．

点评：求解本题时，应考虑以下几个要点：
1、联立直线与抛物线的方程，消x或y后建立一元二次方程，利用韦达定理与已知条件消元，这是处理此类问题的常见模式．
2、求三角形面积时，为使面积的表达式简单，常根据图形的特征选择适当的底与高．
3、利用基本不等式时，应注意“一正，二定，三相等”．