Question

13．关于直线a，b，c以及平面α，β，给出下列命题：
①若a∥α，b∥α，则a∥b
②若a∥α，b⊥α，则a⊥b
③若a?α，b?α，且c⊥a，c⊥b，则c⊥α
④若a⊥α，a∥β，则α⊥β
其中正确的命题是（　　）

• A． ①②
• B． ②③
• C． ②④
• D． ①④

Answer 1

分析 ①，若a∥α，b∥α，则a与b位置关系有相交、异面、平行
②，设β为过a的平面，且α∩β=l．由a∥α，得a∥l．由b⊥l，得b⊥a．
③，根据线面垂直的判定定理，可判断；
④，由直线a∥平面α，各平面α中必存在一条直线b与直线a平行，由此根据直线a⊥平面β，利用平面与平面垂直的判定定理得α⊥β．

解答 解：对于①，若a∥α，b∥α，则a与b位置关系有相交、异面、平行，故错；
对于②，设β为过a的平面，且α∩β=l．∵a∥α，∴a∥l．∵直线b⊥平面α，l?α，∴b⊥l，∴b⊥a．故a⊥b．故正确；
对于③，若a?α，b?α，a∥b，c⊥a，c⊥b时，由于a、b不一定相交，故c⊥α不一定成立，故③错误；
对于④，∵直线a∥平面α，∴平面α中必存在一条直线b与直线a平行，∵直线a⊥平面β，∴直线b⊥平面β，∴α⊥β．故正确；
故选：C

点评 本题以命题的真假判断为载体，考查了空间直线和平面的位置关系，熟练掌握空间线面关系的判定定理，性质定理和几何特征是解答的关键．