Question

8．P为双曲线$\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$右支上一点，F₁，F₂分别为双曲线的左、右焦点，且$\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{P{F_2}}=0$，直线PF₂交y轴于点A，则△AF₁P的内切圆半径为（　　）

• A． 2
• B． 3
• C． $\frac{3}{2}$
• D． $\frac{{\sqrt{13}}}{2}$

Answer 1

分析 根据题意，由双曲线的标准方程可得a的值，设△APF₁的内切圆半径为r，由直角三角形的性质分析可得|PF₁|+|PA|-|AF₁|=2r，由双曲线的几何性质分析|AF₂|-|AF₁|=2r-6，由图形的对称性知2r-6=0，即可得答案．

解答 解：根据题意，双曲线的方程$\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$，其中a=$\sqrt{9}$=3，
设△APF₁的内切圆半径为r，∵PF₁⊥PF₂，
∴|PF₁|+|PA|-|AF₁|=2r，
∴|PF₂|+2a+|PA|-|AF₁|=2r，
∴|AF₂|-|AF₁|=2r-6，
∵由图形的对称性知：|AF₂|=|AF₁|，
即2r-6=0，解可得r=3，
故选：B．

点评 本题考查了双曲线的几何性质，双曲线的定义，注意直角三角形的内切圆公式．