Question

若椭圆C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），过点Q（1，

1

2

）作圆C₂：x²+y²=1的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）若直线l与圆C₂相切于点P，且交椭圆C₁于点M，N，求证：∠MON是钝角．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）由题意可知：c=1，k_OQ=

1

2

，则k_AB=-2，由此能求出椭圆的标准方程．
（Ⅱ）当直线l的斜率不存在时，由题意得∠MON是钝角；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+m，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），与椭圆

x2

5

+

y2

4

=1，联立得到：（5k²+4）x²+10kmx+5m²-20=0，由此利用韦达定理结合已知条件能证明∠MON是钝角．

解答： （Ⅰ）解：由题意可知：c=1，k_OQ=

1

2

，则k_AB=-2，…（3分）
所以直线AB的方程是y=-2（x-1），即y=-2x+2，即b=2．…（5分）
所以a²=b²+c²=5，
故椭圆的标准方程为：

x2

5

+

y2

4

=1．…（7分）
（Ⅱ）证明：当直线l的斜率不存在时，由题意得∠MON是钝角，…（9分）
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+m，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
与椭圆

x2

5

+

y2

4

=1，联立得到：（5k²+4）x²+10kmx+5m²-20=0，
则

OM

•

ON

=x₁x₂+y₁y₂=（k²+1）x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²，
由韦达定理，得x1+x2=-

10km

5k2+4

，x1x2=

5m2-20

5k2+4

，
代入上式可以得到：

OM

•

ON

=（k²+1）x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²
=

9m2-20(k2+1)

5k2+4

，…（12分）
因为直线l与圆C₂相切，则

|m|

1+k2

=1，
所以m²=1+k²，…（14分）
代入上式：

OM

•

ON

=

9m2-20(k2+1)

5k2+4

＜0，
所以∠MON是钝角．…（15分）

点评：本题考查椭圆的标准方程的求法，考查角为钝角的证明，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．