Question

7．设双曲线C：$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）左，右焦点为F₁，F₂，P是双曲线C上的一点，PF₁与x轴垂直，△PF₁F₂的内切圆方程为（x+1）²+（y-1）²=1，则双曲线方程为（　　）

• A． $\frac{x^2}{2}-\frac{y^2}{3}=1$
• B． ${x^2}-\frac{y^2}{2}=1$
• C． $\frac{x^2}{2}-{y^2}=1$
• D． ${x^2}-\frac{y^2}{3}=1$

Answer 1

分析 由题意可得：△PF₁F₂的内切圆圆心C（-1，1），半径为r=1，由丨OF₁丨=2r=2，即可求得c，根据双曲线的性质，求得丨PF₁丨=$\frac{{b}^{2}}{a}$，丨PF₂丨=2a+$\frac{{b}^{2}}{a}$，丨F₁F₂丨=2c=4，由内切圆的半径公式径r=$\frac{丨P{F}_{1}丨+丨{F}_{1}{F}_{2}丨-丨P{F}_{2}丨}{2}$=2-a=1，即可求得a，则b²=c²-a²=3求得双曲线方程．

解答 解：，△PF₁F₂的内切圆方程为（x+1）²+（y-1）²=1，圆心C（-1，1），半径为r=1，
∴丨OF₁丨=2r=2，
P（-2，$\frac{{b}^{2}}{a}$），
∴丨PF₁丨=$\frac{{b}^{2}}{a}$，由双曲线的定义可知：丨PF₂丨=2a+$\frac{{b}^{2}}{a}$，丨F₁F₂丨=2c=4，
由三角形的内切圆的半径r=$\frac{丨P{F}_{1}丨+丨{F}_{1}{F}_{2}丨-丨P{F}_{2}丨}{2}$=2-a=1，
则a=1，
由b²=c²-a²=3
∴双曲线方程为：${x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{3}=1$，
故选D．

点评 本题考查双曲线的简单几何性质，考查三角形的内切圆的半径公式，考查数形结合思想，属于中档题．