Question

4．已知函数f（x）=ax+$\frac{1}{x}$，且此函数的图象过点A（2，$\frac{5}{2}$）．
（1）求实数a的值；
（2）判断f（x）的奇偶性；
（3）讨论函数f（x）在[1，+∞）的单调性，并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）把点的坐标代入函数f（x）中，求出a的值即可；
（2）根据奇偶性的定义，判断f（x）是定义域上的奇函数；
（3）函数f（x）是[1，+∞）上的单调增函数，用单调性定义即可证明．

解答 解：（1）∵函数f（x）=ax+$\frac{1}{x}$的图象过点A（2，$\frac{5}{2}$），
∴f（2）=2a+$\frac{1}{2}$=$\frac{5}{2}$，解得a=1；
（2）a=1时，f（x）=x+$\frac{1}{x}$，其中x≠0；
f（-x）=-x+$\frac{1}{-x}$=-（x+$\frac{1}{x}$）=-f（x），
∴f（x）是定义域（-∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数；
（3）函数f（x）在[1，+∞）是单调增函数，证明如下；
任取x₁、x₂∈[1，+∞），且x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=（x₁+$\frac{1}{{x}_{1}}$）-（x₂+$\frac{1}{{x}_{2}}$）=$\frac{{（x}_{1}{-x}_{2}）{{（x}_{1}x}_{2}-1）}{{{x}_{1}x}_{2}}$；
∵1≤x₁＜x₂，∴x₁-x₂＜0，x₁x₂＞1，x₁x₂-1＞0；
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂）；
∴f（x）是[1，+∞）上的单调增函数．

点评 本题考查了函数的单调性与奇偶性的判断问题，也考查了求函数解析式的应用问题，是基础题目．